Sümboolne meetod vahelduvvooluahelate arvutamiseks
Sümboolne vektori suurustega tehtemeetod põhineb väga lihtsal ideel: iga vektor jaotatakse kaheks komponendiks: üks horisontaalne, mis kulgeb mööda abstsissi, ja teine, vertikaalne, kulgeb mööda ordinaati. Sel juhul järgivad kõik horisontaalsed komponendid sirgjoont ja neid saab lisada lihtsa algebralise liitmise teel ning vertikaalsed komponendid liidetakse samamoodi.
Selle lähenemisviisi tulemuseks on üldiselt kaks tulemuskomponenti, horisontaalne ja vertikaalne, mis on alati üksteise kõrval sama 90° nurga all.
Neid komponente saab kasutada tulemuse leidmiseks, st geomeetriliseks liitmiseks. Täisnurksed komponendid tähistavad täisnurkse kolmnurga jalgu ja nende geomeetriline summa hüpotenuusi.
Võib ka öelda, et geomeetriline summa on arvuliselt võrdne nii komponentidele kui ka selle külgedele ehitatud rööpküliku diagonaaliga... Kui horisontaalkomponenti tähistab AG ja vertikaalkomponenti AB, siis geomeetriline summa ( 1)
Täisnurksete kolmnurkade geomeetrilise summa leidmine on palju lihtsam kui kaldkolmnurkade puhul. Seda on lihtne näha (2)
muutub (1), kui komponentide vaheline nurk on 90 °. Kuna cos 90 = 0, siis kaob radikaalavaldises (2) viimane liige, mille tulemusena avaldis oluliselt lihtsustub. Pange tähele, et sõna "summa" ette tuleb lisada üks kolmest sõnast: "aritmeetiline", "algebraline", "geomeetriline".
Joonis fig. 1.
Sõna "summa" ilma täpsustamata, mis põhjustab ebakindlust ja mõnel juhul jämedaid vigu.
Tuletame meelde, et saadud vektor on võrdne vektorite aritmeetilise summaga juhul, kui kõik vektorid liiguvad mööda sirget (või üksteisega paralleelselt) samas suunas. Lisaks on kõigil vektoritel plussmärk (joon. 1, a).
Kui vektorid kulgevad mööda sirget, kuid osutavad vastassuundadele, siis on nende tulemus võrdne vektorite algebralise summaga, sel juhul on osadel terminitel plussmärk ja teistel miinusmärk.
Näiteks joonisel fig. 1, b U6 = U4 — U5. Võime ka öelda, et aritmeetilist summat kasutatakse juhtudel, kui vektorite vaheline nurk on null, algebralist, kui nurgad on 0 ja 180 °. Kõigil muudel juhtudel viiakse liitmine läbi vektoraalselt, see tähendab, et määratakse geomeetriline summa (joonis 1, c).
Näide... Määrake ahela ekvivalentse siinuslaine parameetrid Joon. 2, kuid sümboolne.
Vastus. Joonistame vektorid Um1 Um2 ja lagundame need komponentideks. Jooniselt on näha, et iga horisontaalne komponent on vektori väärtus, mis on korrutatud faasinurga koosinusega, ja vertikaalne on vektori väärtus, mis on korrutatud faasinurga siinusega. Siis
Joonis fig. 2.
Ilmselgelt on horisontaal- ja vertikaalkomponendid kokku võrdsed vastavate komponentide algebraliste summadega. Siis
Saadud komponendid on näidatud joonisel fig. 2, b. Määrake selle jaoks Um väärtus, arvutage kahe komponendi geomeetriline summa:
Määrake ekvivalentne faasinurk ψeq. Joonis fig. 2, b, on näha, et vertikaalse ja horisontaalse komponendi suhe on ekvivalentse faasinurga puutuja.
kus
Nii saadud sinusoidi amplituud on 22,4 V, algfaas 33,5 ° sama perioodiga kui komponentidel. Pange tähele, et lisada saab ainult sama sagedusega siinuslaineid, kuna erineva sagedusega siinuskõverate liitmisel lakkab tekkiv kõver siinus olemast ja kõik ainult harmoonilistele signaalidele kehtivad mõisted muutuvad sel juhul kehtetuks.
Vaatame veel kord kogu teisenduste ahelat, mis tuleb erinevate arvutuste tegemisel harmooniliste lainekujude matemaatiliste kirjeldustega teha.
Esiteks asendatakse ajalised funktsioonid vektorkujutistega, seejärel jagatakse iga vektor kaheks üksteisega risti olevaks komponendiks, seejärel arvutatakse eraldi horisontaalne ja vertikaalne komponent ning lõpuks määratakse saadud vektori ja selle algfaasi väärtused.
See arvutusmeetod välistab vajaduse siinusekujuliste kõverate graafilise liitmise (ja mõnel juhul keerukamate toimingute, näiteks korrutamise, jagamise, juurte eraldamise jne) lisamise ja kaldkolmnurkade valemite abil arvutamise vajaduse.
Operatsiooni horisontaalse ja vertikaalse komponendi eraldi arvutamine on aga üsna tülikas.Sellistes arvutustes on väga mugav omada sellist matemaatilist aparaati, millega saab arvutada mõlemad komponendid korraga.
Juba eelmise sajandi lõpus töötati välja meetod, mis võimaldab samaaegselt arvutada omavahel risti asetsevatele telgedele kantud arve. Horisontaalteljel olevaid numbreid nimetati reaalseteks ja vertikaaltelje arve kujuteldavateks. Nende arvude arvutamisel lisatakse reaalarvudele koefitsient ± 1 ja imaginaararvudele ± j (loe "xi"). Nimetatakse reaal- ja imaginaarsetest osadest koosnevaid numbreid keeruline, ja nende abiga tehtud arvutusmeetod on sümboolne.
Selgitagem mõistet "sümboolne". Arvutatavad funktsioonid (antud juhul harmoonilised) on originaalid ja originaale asendavad väljendid on kujutised või sümbolid.
Sümboolse meetodi kasutamisel tehakse kõik arvutused mitte originaalide endi, vaid nende sümbolite (piltide) põhjal, mis meie puhul tähistavad vastavaid kompleksnumbreid, kuna piltidega on palju lihtsam toiminguid teha kui originaalide endaga.
Kui kõik pilditoimingud on lõpetatud, salvestatakse tulemuseks olevale pildile vastav originaal. Enamik arvutusi elektriahelates tehakse sümboolsel meetodil.