Miks kasutatakse vahelduvvooluahelates arvutustes kompleksarve

Nagu teate, kasutatakse keerulisi numbreid mõnede elektrotehnika tüüpiliste probleemide lahendamiseks. Kuid milleks neid kasutatakse ja miks seda nii tehakse? Seda püüame selle artikli käigus mõista. Fakt on see, et keeruline meetod või komplekssete amplituudide meetod on keerukate vahelduvvooluahelate arvutamiseks mugav. Ja alustuseks tuletagem meelde mõningaid matemaatika põhitõdesid:

Nagu näha, sisaldab kompleksarv z kujutlusosa ja reaalosa, mis erinevad üksteisest ja on tekstis erinevalt tähistatud. Kompleksarvu z saab kirjutada algebralisel, trigonomeetrilisel või eksponentsiaalsel kujul:

Ajalooline taust

Arvatakse, et imaginaarsete arvude idee sai alguse 1545. aastal, kui Itaalia matemaatik, insener, filosoof, arst ja astroloog Girolamo Cardano avaldas selle võrrandite lahendamise meetodi oma traktaadis "Suur kunst", kus muuhulgas avaldas , tunnistas ta, et Niccolò andis talle selle idee Tartagliale (Itaalia matemaatik) 6 aastat enne selle töö avaldamist. Kradano lahendab oma töös järgmise vormi võrrandeid:

Nende võrrandite lahendamise käigus oli teadlane sunnitud tunnistama mõne "ebareaalse" arvu olemasolu, mille ruut võrdub miinus ühega "-1", see tähendab, nagu oleks ruutjuur negatiivne arv ja kui see on nüüd ruudus, siis osutub vastavaks negatiivseks arvuks juure all. Cardano esitas korrutamise reegli, mille kohaselt:

Kolm sajandit oli matemaatika kogukond Cardano pakutud uue lähenemisviisiga harjumas. Väljamõeldud arvud hakkavad tasapisi juurduma, kuid matemaatikud ei taha neid aktsepteerida. Alles Gaussi algebrateemaliste tööde avaldamisega, kus ta tõestas algebra põhiteoreemi, võeti kompleksarvud lõpuks täielikult vastu, oli käes 19. sajand.

Imaginaarsed arvud said matemaatikute jaoks tõeliseks päästjaks, sest kõige keerukamaid ülesandeid oli palju lihtsam lahendada, kui leppida imaginaararvude olemasoluga.

Nii jõudis see peagi elektrotehnikani. Vahelduvvooluahelad olid mõnikord väga keerulised ja nende arvutamiseks tuli arvutada palju integraale, mis oli sageli väga ebamugav.

Lõpuks, aastal 1893, esines hiilgav elektriinsener Carl August Steinmetz Chicagos rahvusvahelisel elektrotehnika kongressil ettekandega "Keerulised numbrid ja nende rakendamine elektrotehnikas", mis tähistas tegelikult inseneride keeruka meetodi praktilise rakendamise algust. vahelduvvoolu elektriahelate arvutamine.

Me teame seda füüsika kursusest vahelduvvoolu — see on vool, mis aja jooksul muutub nii suuruses kui suunas.

Tehnikas on vahelduvvoolu erinevaid vorme, kuid tänapäeval on levinuim siinusvoolu vahelduvvool, seda kasutatakse kõikjal, mille abil edastatakse elektrit, vahelduvvoolu kujul, mida genereeritakse, muundatakse trafod ja kulub koormustele. Sinusoidne vool muutub perioodiliselt vastavalt siinuse (harmoonilise) seadusele.

Voolu ja pinge efektiivsed väärtused on väiksemad kui kahekordse juure amplituudi väärtused:

Kompleksmeetodil kirjutatakse voolude ja pingete efektiivsed väärtused järgmiselt:

Pange tähele, et elektrotehnikas tähistatakse kujuteldavat ühikut tähega «j», kuna tähte «i» kasutatakse siin juba voolu tähistamiseks.

Alates Ohmi seadus määrab takistuse kompleksväärtuse:

Komplekssete väärtuste liitmine ja lahutamine toimub algebralises vormis ning korrutamine ja jagamine eksponentsiaalses vormis.

Vaatleme keerukate amplituudide meetodit konkreetse vooluahela näitel, millel on teatud põhiparameetrite väärtused.

Näide ülesande lahendamisest kompleksarvude abil

Arvestades:

• pooli pinge 50 V,

• takisti takistus 25 oomi,

• pooli induktiivsus 500 mH,

• kondensaatori elektriline võimsus on 30 mikrofaradi,

• pooli takistus 10 oomi,

• võrgu sagedus 50 Hz.

Leia: ampermeetri ja voltmeetri näidud ning vattmeeter.

Vastus:

Alustuseks kirjutame üles jadaühendatud elementide komplekstakistus, mis koosneb reaalsetest ja mõttelistest osadest, seejärel leiame aktiiv-induktiivse elemendi komplekstakistuse.

Mälestades! Eksponentvormi saamiseks leidke moodul z, mis on võrdne reaal- ja imaginaarse osa ruutude summa ruutjuurega, ja phi, mis on võrdne kujutlusosa reaalosaga jagatud jagatise arktangensiga.

Seejärel leiame ampermeetri voolu ja vastavalt ka näidud:

Seega näitab ampermeeter voolu 0,317 A – see on vool läbi kogu jadaahela.

Nüüd leiame kondensaatori mahtuvusliku takistuse, seejärel määrame selle keeruka takistuse:

Seejärel arvutame selle vooluahela kompleksse kogutakistuse:

Nüüd leiame ahelale rakendatud efektiivse pinge:

Voltmeeter näitab efektiivset pinget 19,5 volti.

Lõpuks leiame võimsuse, mida vattmeeter kuvab, võttes arvesse voolu ja pinge faaside erinevust

Vattmeeter näitab 3,51 vatti.

Nüüd saate aru, kui olulised on kompleksarvud elektrotehnikas. Neid kasutatakse elektriahelate mugavaks arvutamiseks. Paljud elektroonilised mõõteseadmed töötavad samadel alustel.