Vektorvälja voog ja tsirkulatsioon

Richard Feynmani loengumaterjalide põhjal

Kirjeldades elektriseadusi vektorväljade järgi, seisame silmitsi vektorvälja kahe matemaatiliselt olulise tunnusega: voog ja tsirkulatsioon. Tore oleks aru saada, mis need matemaatilised mõisted on ja mis on nende praktiline tähendus.

Küsimuse teisele osale on lihtne vastata kohe, sest selle keskmes on voolu ja ringluse mõisted Maxwelli võrrandid, millel tegelikult toetub kogu kaasaegne elektrodünaamika.

Nii saab näiteks elektromagnetilise induktsiooni seaduse sõnastada järgmiselt: elektrivälja E tsirkulatsioon suletud ahelas C võrdub magnetvälja B voo muutumise kiirusega läbi pinna S, mis on sellega piiratud. silmus B.

Järgnevalt kirjeldame üsna lihtsalt, selgete voolavate näidete abil, kuidas matemaatiliselt määratakse välja karakteristikud, millest need välja karakteristikud võetakse ja saadakse.

Vektorvälja voog

Alustuseks joonistagem uuritava ala ümber teatud täiesti suvalise kujuga suletud pind. Pärast selle pinna kujutamist küsime, kas uuritav objekt, mida me nimetame väljaks, voolab läbi selle suletud pinna. Et mõista, millega tegu, kaaluge lihtsat vedelat näidet.

Oletame, et uurime teatud vedeliku kiirusvälja. Sellise näite puhul on mõttekas küsida: kas seda pinda läbib ajaühikus rohkem vedelikku, kui voolab selle pinnaga piiratud ruumalasse? Teisisõnu, kas väljavoolu kiirus on alati suunatud eelkõige seest välja?

Väljendiga "vektorivälja voog" (ja meie näite puhul on täpsem väljend "vedeliku kiirusvoog") nõustume nimetama kujuteldava vedeliku koguhulka, mis voolab läbi vaadeldava ruumala pinda, mida piirab antud a suletud pind (vedeliku voolukiiruse jaoks, kui palju vedelikku tuleneb mahust ajaühikus).

Selle tulemusena on pinnaelemendi läbiv voog võrdne pinnaelemendi pindala korrutisega kiiruse risti oleva komponendiga. Siis on kogu (kogu) voog kogu pinna ulatuses võrdne kiiruse keskmise normaalkomponendi korrutisega, mida arvestame seestpoolt väljapoole, kogupindalaga.

Nüüd tagasi elektrivälja juurde. Elektrivälja ei saa loomulikult pidada mõne vedeliku voolukiiruseks, kuid meil on õigus tutvustada voolu matemaatilist kontseptsiooni, mis on sarnane sellele, mida me eespool kirjeldasime vedeliku kiiruse vooluna.

Ainult elektrivälja puhul saab selle voogu määrata elektrivälja tugevuse keskmise normaalkomponendiga E. Lisaks saab elektrivälja voogu määrata mitte tingimata läbi suletud pinna, vaid läbi mis tahes piiratud pinna nullist erineva ala S .

Vektorvälja tsirkulatsioon

Kõigile on hästi teada, et suurema selguse huvides saab välju kujutada nn jõujoontena, mille igas punktis puutuja suund langeb kokku väljatugevuse suunaga.

Pöördume tagasi vedeliku analoogia juurde ja kujutame ette vedeliku kiirusvälja Esitagem endale küsimus: kas vedelik ringleb? See tähendab, kas see liigub eelkõige mingi kujuteldava suletud ahela suunas?

Suurema selguse huvides kujutage ette, et suures anumas olev vedelik liigub kuidagi (joonis A) ja me külmutasime äkitselt peaaegu kogu selle mahu, kuid suutsime jätta ruumala külmutamata ühtlaselt suletud toru kujul, milles ei ole vedeliku hõõrdumine seintele (joonis b).

Väljaspool seda toru on vedelik muutunud jääks ega saa seetõttu enam liikuda, kuid toru sees saab vedelik oma liikumist jätkata eeldusel, et valitseb impulss, mis seda näiteks päripäeva liigutab (joon. . °C). Seejärel nimetatakse torus oleva vedeliku kiiruse ja toru pikkuse korrutist vedeliku kiiruse tsirkulatsiooniks.

Samamoodi saame defineerida tsirkulatsiooni vektorvälja jaoks, kuigi jällegi ei saa välja öelda millegi kiiruseks, saame siiski määratleda piki kontuuri "tsirkulatsiooni" matemaatilise karakteristiku.

Seega võib vektorivälja tsirkulatsiooni piki kujuteldavat suletud ahelat defineerida kui vektori keskmise tangentsiaalse komponendi korrutist ahela läbimise suunas — ahela pikkusega.