Loogika algebra alused ja seadused
19. sajandi keskpaiga Iiri matemaatik George Bull töötas välja loogika algebra ("Mõtlemise seaduste uurimine"). Seetõttu nimetatakse ka loogika algebrat Boole'i algebra.
Andes tähttähistusi, väljendades tegevussümbolites loogiliste teisenduste toiminguid ning kasutades nendele tegevustele kehtestatud reegleid ja aksioome, võimaldab loogika algebra lauseloogikaga antud ülesande lahendamisel toimuvat arutlusprotsessi täielikult kirjeldada algoritmides. st omada matemaatiliselt kirjutatud programmi, mis seda ülesannet lahendaks.
Väidete tõesuse või vääruse tähistamiseks (st väidete hindamise väärtuste tutvustamiseks) kasutab loogika algebra binaarsüsteemi, mis on sel juhul mugav. Kui väide on tõene, saab see väärtuseks 1, kui see on väär, siis 0. Erinevalt kahendarvudest ei väljenda loogilised 1-d ja 0-d suurust, vaid olekut.
Niisiis, Boole'i algebra abil kirjeldatud elektriahelates, kus 1 on pinge olemasolu ja 0 selle puudumine, on pinge tarnimine mitmest allikast ahela ühte sõlme (st selle mitme loogilise ühiku saabumine). näitab ka loogilise ühikuna, mis näitab mitte sõlme kogupinget, vaid ainult selle olemasolu.
Loogikaahelate sisend- ja väljundsignaalide kirjeldamisel kasutatakse muutujaid, mis võtavad väärtusi ainult loogiliselt 0 või 1. Määratakse väljundsignaalide sõltuvus sisendist loogiline operatsioon (funktsioon)… Tähistame sisendmuutujad X1 ja X2 ning nendega loogilise tehte tulemusel saadud väljundit y-ga.
Mõtle selle üle kolm elementaarset loogikat, mille abil saab kirjeldada järjest keerukamaid.
1. VÕI-operatsioon – loogiline lisamine:
Arvestades muutujate kõiki võimalikke väärtusi, saab OR-operatsiooni määratleda kui sisendis oleva vähemalt ühe ühiku piisavust väljundis ühe genereerimiseks. Operatsiooni nime selgitab liidu VÕI semantiline tähendus lauses: «Kui VÕI on üks sisend VÕI teine on üks, siis väljund on üks.»
2. Tehe JA — loogiline korrutamine:
Võttes arvesse muutujate väärtuste kogu komplekti, on AND-operatsioon määratletud kui vajadus sobitada kõik sisendite väärtused, et saada väljundis üks: "Kui JA on üks sisend ja teine on ühed, siis väljund on üks. «
3. Tehe NOT — loogiline eitus või inversioon. Seda tähistab muutuja kohal olev riba.
Pööramisel pööratakse muutuja väärtus ümber.
Loogilise algebra põhiseadused:
1. Nullhulga seadus: suvalise arvu muutujate korrutis kaob, kui mõni muutujatest on null, olenemata teiste muutujate väärtustest:
2. Universaalse hulga seadus — suvalise arvu muutujate summast saab üks, kui vähemalt ühe muutuja väärtus on üks, olenemata muudest muutujatest:
3. Kordamise seadus — avaldises võib korduvaid muutujaid ära jätta (teisisõnu, Boole'i algebras ei ole eksponentsimist ega arvulise koefitsiendiga korrutamist):
4. Topeltinversiooni seadus — kaks korda sooritatud inversioon on tühi tehe:
5. Komplementaarsuse seadus — iga muutuja ja selle pöördväärtuse korrutis on null:
6. Iga muutuja ja selle pöördarvu summa on üks:
7. Kaitseseadused — korrutamis- ja liitmistoimingute tulemus ei sõltu muutujate järgnevast järjekorrast:
8. Kombineeritud seadused — korrutamise ja liitmise ajal saab muutujaid rühmitada mis tahes järjekorras:
9. Levitamise seadused — kogukoefitsient on lubatud jätta sulgudest väljapoole:
10. Neeldumise seadused — näidata viise, kuidas lihtsustada väljendeid, mis hõlmavad muutujat kõigis tegurites ja terminites:
11. De Morgani seadused — korrutise inversioon on muutujate inversioonide summa:
summa inversioon on muutujate inversioonide korrutis:
