Biot-Savart seadus ja magnetinduktsiooni vektori tsirkulatsiooni teoreem

1820. aastal tegid prantsuse teadlased Jean-Baptiste Biot ja Félix Savard alalisvoolude magnetväljade uurimise ühiskatsete käigus ühemõtteliselt kindlaks, et juhti läbiva alalisvoolu magnetilist induktsiooni võib pidada elektrijuhtmest läbiva alalisvoolu magnetilise induktsiooni tulemuseks. selle juhtme kõigi sektsioonide üldine toime vooluga. See tähendab, et magnetväli allub superpositsiooni põhimõttele (väljade superpositsiooni printsiip).

Alalisvoolujuhtmete rühma tekitatud magnetväljal on järgmine magnetiline induktsioonet selle väärtus on määratletud iga juhi poolt eraldi tekitatud magnetinduktsioonide vektorsummana. See tähendab, et alalisvoolujuhi induktsiooni B saab õiglaselt esitada vaadeldava alalisvoolujuhi I elementaarsektsioonidesse dl kuuluvate elementaarinduktsioonide dB vektorsummaga.

Alalisvoolujuhi elementaarse osa eraldamine on praktiliselt ebareaalne, sest D.C. alati suletud.Kuid saate mõõta juhtme tekitatud kogu magnetilist induktsiooni, st antud juhtme kõigi elementaarsete osade poolt tekitatud kogumagnetilist induktsiooni.

Seega võimaldab Biot-Sovari seadus leida juhi lõigu (teadaoleva pikkusega dl) magnetinduktsiooni B väärtuse antud alalisvooluga I, teatud kaugusel r sellest juhi lõigust ja teatud vaatlussuund valitud sektsioonist (seatud läbi siinuse nurga voolu suuna ja juhi lõigust uuritava punktini juhi lähedal asuvas ruumis oleva suuna vahel):

Eksperimentaalselt tehti kindlaks, et magnetinduktsiooni vektori suunda saab hõlpsasti määrata parempoolse kruvi või kardaani reegliga: kui kardaani translatsioonilise liikumise suund selle pöörlemise ajal ühtib juhtmes oleva alalisvoolu I suunaga, siis kardaani käepideme pöörlemissuund määrab antud voolu tekitatud magnetilise induktsiooni vektori B suuna.

Sirge voolu kandva juhtme magnetväli, samuti illustratsioon Bio-Savart seaduse rakendamisest sellele on näidatud joonisel:

Seega, kui integreerida, st lisada, konstantse voolujuhi iga väikese lõigu panus kogu magnetvälja, saame valemi voolujuhi magnetilise induktsiooni leidmiseks sellest teatud raadiuses R. .

Samamoodi saab Bio-Savardi seadust kasutades arvutada magnetilisi induktsioone erineva konfiguratsiooniga alalisvooludest ja teatud ruumipunktides, näiteks magnetinduktsiooni vooluga ringahela keskel leitakse järgmine valem:

Magnetinduktsiooni vektori suund on kardaanireegli järgi kergesti leitav, ainult nüüd tuleb kardaani keerata suletud voolu suunas ja kardaani edasiliikumine näitab magnetinduktsiooni vektori suunda.

Sageli saab magnetvälja arvutusi lihtsustada, kui võtta arvesse genereeriva välja poolt antud voolude konfiguratsiooni sümmeetriat. Siin saab kasutada magnetinduktsiooni vektori tsirkulatsiooni teoreemi (nagu Gaussi teoreem elektrostaatikas). Mis on "magnetilise induktsiooni vektori tsirkulatsioon"?

Valime ruumis teatud suvalise kujuga suletud ahela ja märgime tinglikult selle liikumise positiivse suuna.Selle ahela iga punkti kohta leiate magnetinduktsiooni vektori B projektsiooni kontuuri puutujale selles punktis. Siis on nende suuruste korrutiste summa kontuuri kõigi osade elementaarpikkustega magnetinduktsiooni vektori B tsirkulatsioon mööda seda kontuuri:

Praktiliselt kõik voolud, mis tekitavad siin üldist magnetvälja, võivad kas läbida vaadeldavasse vooluringi või mõned neist olla sellest väljaspool. Tsirkulatsiooniteoreemi järgi: alalisvoolude magnetilise induktsiooni vektori B tsirkulatsioon suletud ahelas on arvuliselt võrdne magnetkonstandi mu0 korrutisega kõigi kontuuri läbivate alalisvoolude summaga. Selle teoreemi sõnastas Andre Marie Ampere 1826. aastal:

Mõelge ülaltoodud joonisele. Siin tungivad voolud I1 ja I2 ahelasse, kuid need on suunatud erinevatesse suundadesse, mis tähendab, et neil on tinglikult erinevad märgid.Positiivne märk on vooluga, mille magnetilise induktsiooni suund (vastavalt põhireeglile) langeb kokku valitud vooluahela möödaviigu suunaga. Selle olukorra jaoks on tsirkulatsiooniteoreem järgmine:

Üldiselt tuleneb magnetilise induktsiooni vektori B tsirkulatsiooni teoreem magnetvälja superpositsiooni printsiibist ja Biot-Savardi seadusest.

Näiteks tuletame alalisvoolujuhi magnetilise induktsiooni valemi. Valime ringikujulise kontuuri, mille keskpunktist see traat läbib ja traat on kontuuri tasapinnaga risti.

Seega asub ringi keskpunkt otse juhi keskpunktis, see tähendab juhis. Kuna pilt on sümmeetriline, on vektor B suunatud ringile tangentsiaalselt ja selle projektsioon puutujale on seetõttu kõikjal ühesugune ja võrdne vektori B pikkusega. Tsirkulatsiooniteoreem on kirjutatud järgmiselt:

Seetõttu järgneb alalisvooluga sirge juhi magnetilise induktsiooni valem (see valem on juba eespool toodud). Samamoodi saab tsirkulatsiooniteoreemi kasutades kergesti leida sümmeetriliste alalisvoolu konfiguratsioonide magnetilisi induktsioone, kus väljajoonte pilti on lihtne visualiseerida.

Üks praktiliselt oluline näide tsirkulatsiooniteoreemi rakendamisest on magnetvälja leidmine toroidse induktiivpooli sees.

Oletame, et sõõrikukujulisele pappraamile on keritud toroidne mähis keerdude arvuga N. Selles konfiguratsioonis on magnetinduktsiooni jooned sõõriku sees ja on kontsentrilised (üksteise sees) ringid. .

Kui vaadata magnetilise induktsiooni vektori suunda mööda sõõriku sisetelge, siis selgub, et vool on suunatud kõikjale päripäeva (vastavalt kardaanireeglile). Vaatleme ühte magnetilise induktsiooni joont (näidatud punasega) mähise sees ja vali see ringikujuliseks raadiusega r. Seejärel kirjutatakse antud ahela tsirkulatsiooniteoreem järgmiselt:

Ja mähise sees oleva välja magnetiline induktsioon on võrdne:

Õhukese toroidmähise korral, kus magnetväli on peaaegu ühtlane kogu ristlõikes, saab magnetilise induktsiooni avaldise kirjutada justkui lõpmata pika solenoidi jaoks, võttes arvesse keerdude arvu pikkuseühiku kohta — n :

Mõelge nüüd lõpmatult pikale solenoidile, kus magnetväli on täielikult sees. Valitud ristkülikukujulisele kontuurile rakendame tsirkulatsiooniteoreemi.

Siin annab magnetinduktsiooni vektor nullist erineva projektsiooni ainult küljel 2 (selle pikkus on võrdne L). Kasutades parameetrit n — «pöörete arv pikkuseühiku kohta», saame sellise tsirkulatsiooniteoreemi vormi, mis lõppkokkuvõttes taandub samale kujule nagu multitonCoy toroidpooli puhul: