Maxwelli võrrandid elektromagnetvälja kohta — elektrodünaamika põhiseadused
Maxwelli võrrandite süsteem võlgneb oma nime ja välimuse James Clerk Maxwellile, kes sõnastas ja kirjutas need võrrandid 19. sajandi lõpus.
Maxwell James Clark (1831-1879) on kuulus Briti füüsik ja matemaatik, Inglismaal Cambridge'i ülikooli professor.
Ta ühendas oma võrrandites praktiliselt kõik tol ajal elektri ja magnetismi kohta saadud katsetulemused ning andis elektromagnetismi seadustele selge matemaatilise kuju. Elektrodünaamika põhiseadused (Maxwelli võrrandid) sõnastati 1873. aastal.
Maxwell arendas Faraday elektromagnetvälja doktriini koherentseks matemaatiliseks teooriaks, millest järeldub elektromagnetiliste protsesside lainelise leviku võimalus. Selgus, et elektromagnetiliste protsesside levimiskiirus on võrdne valguse kiirusega (mille väärtus oli juba katsetest teada).
See kokkusattumus oli aluseks Maxwellile, et väljendada ideed elektromagnetiliste ja valgusnähtuste ühisest olemusest, s.o. valguse elektromagnetilise olemuse kohta.
James Maxwelli loodud elektromagnetiliste nähtuste teooria leidis oma esimese kinnituse Hertzi katsetes, kes sai esmakordselt elektromagnetlained.
Selle tulemusena mängisid need võrrandid klassikalise elektrodünaamika täpsete esituste kujunemisel olulist rolli. Maxwelli võrrandeid saab kirjutada diferentsiaal- või integraalkujul. Praktikas kirjeldavad nad matemaatika kuivas keeles elektromagnetvälja ja selle seost elektrilaengute ja vooludega vaakumis ja pidevas keskkonnas. Nendele võrranditele saate lisada Lorentzi jõu väljendus, sel juhul saame klassikalise elektrodünaamika täielik võrrandisüsteem.
Et mõista mõningaid matemaatilisi sümboleid, mida kasutatakse Maxwelli võrrandite diferentsiaalvormides, defineerigem esmalt selline huvitav asi nagu nabla operaator.
Nabla operaator (või Hamiltoni operaator) On vektori diferentsiaaloperaator, mille komponendid on koordinaatide suhtes osatuletised. Meie reaalruumi jaoks, mis on kolmemõõtmeline, sobib ristkülikukujuline koordinaatsüsteem, mille jaoks operaator nabla on defineeritud järgmiselt:
kus i, j ja k on ühikkoordinaatvektorid
Nabla operaator, kui seda väljale mingil matemaatilisel viisil rakendada, annab kolm võimalikku kombinatsiooni. Neid kombinatsioone nimetatakse:
Gradient — vektor, mille suund näitab teatud suuruse suurima kasvu suunda, mille väärtus varieerub ühest ruumipunktist teise (skalaarväli) ja suurusjärgus (moodul) on võrdne selle kasvukiirusega kogus selles suunas.
Erinevus (lahknevus) — diferentsiaaloperaator, mis kaardistab vektorvälja skalaariga (st vektoriväljale diferentseerimisoperatsiooni rakendamise tulemusena saadakse skalaarväli), mis määrab (iga punkti jaoks) "kui palju väli siseneb ja jätab antud punkti väike naabruskond lahkneb ”, täpsemalt kui erinevad on sisse- ja väljavoolud.
Rootor (pööris, pöörlemine) on vektori diferentsiaaloperaator vektorvälja kohal.
Mõtle nüüd otse Maxwelli võrrandid integraal- (vasakul) ja diferentsiaal- (paremal) kujulmis sisaldab elektri- ja magnetväljade, sealhulgas elektromagnetilise induktsiooni põhiseadusi.
Integraalne vorm: elektrivälja tugevuse vektori ringlus mööda suvalist suletud ahelat on otseselt võrdeline magnetvoo muutumise kiirusega läbi selle ahelaga piiratud piirkonna.
Diferentsiaalvorm: iga magnetvälja muutus tekitab pöörisliku elektrivälja, mis on võrdeline magnetvälja induktsiooni muutumise kiirusega.
Füüsiline tähendus: igasugune magnetvälja muutus aja jooksul põhjustab pöörisliku elektrivälja ilmnemise.
Integraalne vorm: magnetvälja induktsioonivoog läbi suvalise suletud pinna on null. See tähendab, et looduses pole magnetlaenguid.
Diferentsiaalvorm: lõpmatu elementaarmahuga magnetvälja induktsiooni jõujoonte voog on võrdne nulliga, kuna väli on pöörises.
Füüsiline tähendus: looduses puuduvad magnetvälja allikad magnetlaengute kujul.
Integraalne vorm: magnetvälja tugevuse vektori ringlus piki suvalist suletud ahelat on otseselt võrdeline koguvooluga, mis läbib selle ahelaga kaetud pinda.
Diferentsiaalvorm: Pöörismagnetväli eksisteerib iga voolu juhtiva juhtme ja vahelduva elektrivälja ümber.
Füüsiline tähendus: juhtiva voolu kulgemine läbi juhtmete ja elektrivälja muutused ajas toovad kaasa pöörismagnetvälja tekkimise.
Integraalne vorm: elektrostaatilise induktsioonivektori voog läbi suvalise suletud pinna, mis ümbritseb laenguid, on otseselt võrdeline selle pinna sees asuva kogulaenguga.
Diferentsiaalvorm: elektrostaatilise välja induktsioonivektori voog lõpmatust elementaarmahust on otseselt võrdeline kogulaenguga selles ruumalas.
Füüsikaline tähendus: elektrivälja allikaks on elektrilaeng.
Nende võrrandite süsteemi saab täiendada nn materiaalsete võrrandite süsteemiga, mis iseloomustavad ruumi täitva ainelise kandja omadusi:
