Kontaktahela algebra seadused, Boole'i ​​algebra

Releeahelate struktuuri ja töötingimuste analüütiline registreerimine võimaldab teostada ahelate analüütilisi ekvivalentseid teisendusi, st struktuurvalemeid teisendades, leida nende töös sarnaseid skeeme. Konversioonimeetodid on eriti täielikult välja töötatud kontaktahelaid väljendavate struktuurivalemite jaoks.

Kontaktahelate jaoks kasutatakse loogika algebra matemaatilist aparaati, täpsemalt selle üht lihtsaimat varianti, mida nimetatakse propositsiooniarvutuseks või Boole'i ​​algebraks (eelmise sajandi matemaatiku J. Boole'i ​​järgi).

Propositsiooniarvutus töötati algselt välja selleks, et uurida sõltuvust (keeruliste otsuste tõesus või väärus neid moodustavate lihtsate väidete tõesuse või vääruse kohta. Sisuliselt on lausearvutus kahe arvu algebra, st algebra mille igal üksikul argumendil ja igal funktsioonil võib olla üks kahest väärtusest.

See määrab võimaluse kasutada Boole'i ​​algebrat kontaktahelate teisendamiseks, kuna igal struktuurivalemis sisalduval argumendil (kontaktil) võib olla ainult kaks väärtust, see tähendab, et see võib olla suletud või avatud ja kogu funktsioon, mida esindab struktuur valem võib väljendada kas suletud või avatud tsüklit.

Boole'i ​​algebra tutvustab:

1) objektid, millel on nagu tavaalgebral ka nimed: sõltumatud muutujad ja funktsioonid — aga erinevalt tavalisest algebrast võivad Boole'i ​​algebras mõlemad võtta ainult kaks väärtust: 0 ja 1;

2) põhilised loogikaoperatsioonid:

• loogiline liitmine (või disjunktsioon, loogiline VÕI, mida tähistatakse märgiga ?), mis on defineeritud järgmiselt: tehte tulemus on 0 siis ja ainult siis, kui kõik tehte argumendid on võrdsed 0-ga, vastasel juhul on tulemus 1;

• loogiline korrutis (või konkatenatsioon, loogiline JA, mida tähistatakse ?-ga või ei ole üldse määratletud), mis on defineeritud järgmiselt: tehte tulemus on 1 siis ja ainult siis, kui kõik tehte argumendid on võrdsed 1-ga, vastasel juhul on tulemus 1 on 0;

• eitus (või vastupidi, loogiline EI, mida tähistab argumendi kohal olev riba), mis on defineeritud järgmiselt: operatsiooni tulemusel on argumendile vastupidine väärtus;

3) aksioomid (Boole'i ​​algebra seadused), mis määratlevad loogiliste avaldiste teisendamise reeglid.

Pange tähele, et kõiki loogilisi tehteid saab sooritada nii muutujate kui ka funktsioonidega, mida allpool nimetatakse Boole'i ​​funktsioonideks... Tuletame meelde, et analoogselt tavalise algebraga on Boole'i ​​algebras loogilise korrutamise tehte loogilise ees. lisamise operatsioon.

Tõeväärtuse avaldised moodustatakse mitme objekti (muutujate või funktsioonide) loogiliste operatsioonide kombineerimisel, mida nimetatakse toimingu argumentideks.

Loogiliste avaldiste teisendamine Boole'i ​​algebra seaduste abil viiakse tavaliselt läbi eesmärgiga minimeerida, sest mida lihtsam on avaldis, seda väiksem on loogikaahela keerukus, mis on loogilise avaldise tehniline teostus.

Boole'i ​​algebra seadused on esitatud aksioomide ja tagajärgede kogumina. Neid saab kontrollida lihtsalt, asendades muutujate erinevad väärtused.

Iga Boole'i ​​funktsiooni loogilise avaldise tehniline analoog on loogikaskeem... Sel juhul on muutujad, millest Boole'i ​​funktsioon sõltub, ühendatud selle ahela välissisenditega, Boole'i ​​funktsiooni väärtus moodustatakse vooluringi väline väljund ja iga loogilise avaldise loogilist operatsiooni rakendab loogiline element.

Seega genereeritakse iga loogikaahela väljundis oleva sisendsignaali komplekti jaoks signaal, mis vastab selle muutujate komplekti tõeväärtusfunktsiooni väärtusele (edaspidi kasutame järgmist kokkulepet: 0 — madal signaalitase , 1 — kõrge signaalitase).

Loogikaahelate koostamisel eeldame, et muutujad sisestatakse sisendisse parafaasikoodis (see tähendab, et saadaval on nii muutujate otsesed kui ka pöördväärtused).

Tabelis 1 on näidatud mõne loogikaelemendi tavapärased graafilised tähised vastavalt standardile GOST 2.743-91, samuti nende välismaised vasted.

Lisaks elementidele, mis sooritavad Boole'i ​​algebra kolme toimingut (AND, OR, NOT), vahekaardil. 1 näitab elemente, mis sooritavad peamistest tuletatud toiminguid:

— JA -EI — loogilise korrutamise eitus, mida nimetatakse ka Schaeferi käiguks (tähistatakse |)

— VÕI -EI — loogilise komplemendi eitus, mida nimetatakse ka Peirce'i nooleks (tähistatakse ?)

Loogikaväravate järjestikuse ühendamisega saate rakendada mis tahes Boole'i ​​funktsiooni.

Releeahelaid üldiselt väljendavaid struktuurivalemeid, st mis sisaldavad reageerivate kotkaste sümboleid, ei saa pidada kahe väärtuse funktsioonideks, mis väljendavad ainult suletud või avatud vooluringi. Seetõttu tekib selliste funktsioonidega töötades mitmeid uusi sõltuvusi, mis väljuvad Boole'i ​​algebra piiridest.

Boole'i ​​algebras on neli paari põhiseadusi: kaks nihet, kaks kombinatoorset, kaks distributiivset ja kaks juriidilist inversiooni. Need seadused kehtestavad erinevate avaldiste samaväärsuse, st käsitlevad avaldisi, mida saab üksteisega asendada, nagu identiteetide asendamist tavalises algebras. Ekvivalentsussümbolina võtame sümboli, mis on sama, mis tavalises algebras (=).

Boole'i ​​algebra seaduste kehtivus kontaktahelate jaoks tehakse kindlaks, võttes arvesse ahelaid, mis vastavad ekvivalentsete avaldiste vasakule ja paremale poolele.

Reisiseadused

Lisamiseks: x + y = y + x

Nendele väljenditele vastavad skeemid on näidatud joonisel fig. 1, a.

Vasak ja parem ahelad on tavaliselt avatud ahelad, millest igaüks sulgub, kui üks elementidest (X või Y) käivitatakse, see tähendab, et need ahelad on samaväärsed. Korrutamiseks: x ·y = y ·NS.

Nendele väljenditele vastavad skeemid on näidatud joonisel fig. 1b, on ka nende samaväärsus ilmne.

Riis. 1

Kombinatsiooni seadused

Lisamiseks: (x + y) + z = x + (y + z)

Korrutamiseks: (x ·y) ·z = x ·(y ·z)

Nendele avaldistele vastavad ekvivalentsete ahelate paarid on näidatud joonisel fig. 2, a, b

Riis. 2

Levitamise seadused

Korrutamine versus liitmine: (x + y) +z = x + (y + z)

Liitmine vs korrutamine. x ·y + z = (x + z) · (y + z)

Nendele väljenditele vastavad skeemid on näidatud joonisel fig. 3, a, b.

Riis. 3.

Nende skeemide samaväärsust saab hõlpsasti kontrollida, võttes arvesse erinevaid kontaktkäivituse kombinatsioone.

Inversiooni seadused

Lisamisel: NS + c = NS·c

Avaldise vasaku külje kohal olev riba on eitus- või inversioonimärk. See märk näitab, et kogu funktsioonil on eitusmärgi all oleva avaldise suhtes vastupidine tähendus. Kogu pöördfunktsioonile vastavat diagrammi joonistada ei saa, küll aga saab joonistada skeemi, mis vastab negatiivse märgi all olevale avaldisele. Seega saab valemit illustreerida joonisel fig. 4, a.

Riis. 4.

Vasakpoolne diagramm vastab avaldisele x + y ja parempoolne NS ·c

Need kaks ahelat on töös üksteise vastas, nimelt: kui ergastamata elementidega X, Y vasakpoolne ahel on avatud vooluring, siis parempoolne ahel on suletud. Kui vasakpoolses vooluringis, kui üks elementidest käivitub, ahel sulgub ja parempoolses vooluringis, vastupidi, avaneb.

Kuna negatiivse märgi definitsiooni järgi on funktsioon x + y funktsiooni x + y pöördväärtus, siis on ilmne, et x + y = NS·in.

Korrutamise kohta: NS · c = NS + c

Vastavad skeemid on näidatud joonisel fig. 4, b.

Translokatiiv- ja kombinatsiooniseadused ja korrutamise jaotusseadus liitmise suhtes (vastavad tavaalgebra sarnastele seadustele).Seetõttu saab struktuurivalemite teisendamisel terminite liitmise ja korrutamise järjekorras, terminite paigutamisel sulgudest väljapoole ja sulgude laiendamisel järgida tavaliste algebraavaldistega töötamiseks kehtestatud reegleid. Korrutamise jaotusseadus ja inversiooniseadus on Boole'i ​​algebrale omased.