Numbrisüsteemid

Arvusüsteem on reeglite kogum arvude esitamiseks erinevate numbrimärkide abil. Numbrisüsteemid jagunevad kahte tüüpi: mittepositsioonilised ja positsioonilised.

Positsioonilistes numbrisüsteemides ei sõltu iga numbri väärtus selle positsioonist, st kohast, mille see numbrite komplektis hõivab. Rooma numbrite süsteemis on ainult seitse numbrit: üks (I), viis (V), kümme (X), viiskümmend (L), sada (C), viissada (D), üks tuhat (M). Neid arve (sümboleid) kasutades kirjutatakse ülejäänud arvud liitmise ja lahutamise teel. Näiteks IV on arvu 4 (V — I) tähistus, VI on arv 6 (V + I) jne. Number 666 on rooma süsteemis kirjutatud järgmiselt: DCLXVI.

See märge on vähem mugav kui see, mida me praegu kasutame. Siin on kuus kirjutatud ühe sümboliga (VI), kuus kümneid teisega (LX), kuussada ja kolmas (DC). Rooma numbrisüsteemis kirjutatud arvudega on aritmeetilisi tehteid väga raske teha. Samuti on mittepositsionaalsete süsteemide ühiseks puuduseks nendes piisavalt suurte arvude esitamise keerukus, mille tulemuseks on äärmiselt tülikas tähistus.

Nüüd kaaluge sama numbrit 666 positsiooninumbrisüsteemis. Selles tähistab üksikmärk 6 üheliste arvu, kui see on viimasel kohal, kümnete arvu, kui see on eelviimasel kohal, ja sadade arvu, kui see on lõpust kolmandal kohal. Seda numbrite kirjutamise põhimõtet nimetatakse positsiooniliseks (kohalikuks). Sellises salvestuses saab iga number numbrilise väärtuse, mis ei sõltu mitte ainult selle stiilist, vaid ka sellest, kus see numbri kirjutamise ajal asub.

Positsioonilises arvusüsteemis saab mis tahes arvu, mis on esitatud kujul A = +a1a2a3 … ann-1an esitada summana

kus n — lõplik numbrite arv arvu kujutisel, ii number i-go number, d — numbrisüsteemi alus, i — kategooria järgarv, dm-i — i-ro kategooria "kaal" . Numbrid ai peavad rahuldama ebavõrdsust 0 <= a <= (d — 1).

Kümnendmärgistuse korral d = 10 ja ai = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Kuna ühtedest ja nullidest koosnevaid numbreid võib kooskasutamisel tajuda kümnend- või kahendarvuna, märgitakse tavaliselt numbrisüsteemi alus, näiteks (1100)2-binaar, (1100)10-kümnend.

Digitaalarvutites kasutatakse laialdaselt muid süsteeme peale kümnendsüsteemi: kahendsüsteemi, kaheksandsüsteemi ja kuueteistkümnendsüsteemi.

Binaarsüsteem

Selle süsteemi puhul on d = 2 ja siin on lubatud ainult kaks numbrit, st ai = 0 või 1.

Iga kahendsüsteemis väljendatud arv esitatakse baasi astme korrutise summana, mis on kahekordne antud biti kahendnumber. Näiteks arvu 101.01 saab kirjutada nii: 101.01 = 1×22 + 0x21 + 1×20 + 0x2-1 + 1×2-2, mis vastab kümnendsüsteemis olevale arvule: 4 + 1 + 0,25 = 5.25 .

Enamikus kaasaegsetes digitaalarvutites kasutatakse kahendarvusüsteemi numbrite esitamiseks masinas ja nendega aritmeetiliste toimingute tegemiseks.

Kahendarvusüsteem, võrreldes kümnendarvuga, võimaldab lihtsustada aritmeetikaseadme ja mäluseadme ahelaid ja skeeme ning tõsta arvuti töökindlust. Kahendarvu iga biti numbrit tähistavad selliste elementide nagu transistorid, dioodid "sees / väljas" olekud, mis töötavad usaldusväärselt "sees / väljas" olekus. Kahendsüsteemi miinusteks on vajadus tõlkida spetsiaalse programmi järgi digitaalsed originaalandmed kahendarvusüsteemi ja otsuse tulemused kümnendarvudesse.

Kaheksandikarvude süsteem

Sellel süsteemil on alus d == 8. Arvude tähistamiseks kasutatakse numbreid: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Kaheksandikarvu süsteemi kasutatakse arvutis abivahendina ülesannete lahendamiseks ettevalmistamisel (programmeerimisprotsessis), masina töö kontrollimisel ja programmi silumisel. See süsteem annab arvu lühema esituse kui kahendsüsteem. Kaheksandarvude süsteem võimaldab lihtsalt lülituda kahendsüsteemile.

Kuueteistkümnendarvu süsteem

Selle süsteemi alus on d = 16. Numbrite tähistamiseks kasutatakse 16 märki: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F ja märgid A … F tähistavad kümnendnumbreid 10, 11, 12, 13, 14 ja 15. Kuueteistkümnendarv (1D4F) 18 vastab kümnendkohale 7503, sest (1D4F)18 = 1 x163 + 13 x 162 + 14 x 161+ 15 x 16O = (7503)10

Kuueteistkümnendsüsteem võimaldab kirjutada kahendarvud kompaktsemalt kui kaheksandarvud. See leiab rakenduse mõne arvuti sisend- ja väljundseadmetes ning numbrijärjestuse kuvamisseadmetes.

Kahend-kümnendarvu süsteem

Arvude esitus kahend-kümnendsüsteemis on järgmine. Aluseks võetakse arvu kümnendmärk ja seejärel kirjutatakse selle iga number (0 kuni 9) neljakohalise kahendarvuna, mida nimetatakse tetradeks, see tähendab, et esitamiseks ei kasutata ühtki märki. kümnendsüsteemi iga number, kuid neli.

Näiteks kümnendkoht 647,59 vastaks BCD 0110 0100 0111, 0101 1001.

Kahend-kümnendarvusüsteemi kasutatakse vahearvusüsteemina ning sisend- ja väljundnumbrite kodeerimiseks.

Ühe numbrisüsteemi teise ülekandmise reeglid

Teabevahetus arvutiseadmete vahel toimub peamiselt kahendarvusüsteemis esitatud numbrite kaudu. Informatsioon esitatakse kasutajale aga kümnendsüsteemis numbritega ja käskude adresseerimine kaheksandsüsteemis. Sellest tuleneb vajadus arvutiga töötamise käigus numbreid ühest süsteemist teise üle kanda. Selleks kasutage järgmist üldreeglit.

Täisarvu teisendamiseks mis tahes arvusüsteemist teise on vaja see arv järjestikku jagada uue süsteemi alusega, kuni jagatis ei ole väiksem kui jagaja. Arv uues süsteemis tuleb kirjutada jagamise jääkide kujul, alustades viimasest, st paremalt vasakule.

Näiteks teisendame kümnendarvu 1987 kahendarvuks:

Kümnendarv 1987 kahendvormingus on 11111000011, s.o. (1987)10 = (11111000011)2

Mis tahes süsteemilt kümnendkohale üleminekul esitatakse arv aluse astmete summana koos vastavate koefitsientidega ja seejärel arvutatakse summa väärtus.

Näiteks teisendame kaheksandarvu 123 kümnendarvuks: (123)8 = 1 x 82 + 2 x 81 + 3 x 80 = 64 + 16 + 3 = 83, s.o. (123)8 = (83)10

Arvu murdosa ülekandmiseks mis tahes süsteemist teise on vaja selle murdosa ja sellest tulenevate korrutise murdosade järjestikust korrutamist uue arvusüsteemi alusel. Arvu murdosa moodustatakse uues süsteemis saadud produktide tervete osadena, alustades esimesest. Korrutamisprotsess jätkub seni, kuni arvutatakse etteantud täpsusega arv.

Näiteks teisendame kümnendmurru 0,65625 kahendarvusüsteemiks:

Kuna viienda korrutise murdosa koosneb ainult nullidest, ei ole edasine korrutamine vajalik. See tähendab, et antud kümnend teisendatakse ilma veata binaarseks, s.t. (0,65625)10 = (0,10101)2.

Kaheksand- ja kuueteistkümnendsüsteemi teisendamine kahendarvuks ja vastupidi pole keeruline. Seda seetõttu, et nende alused (d — 8 ja d — 16) vastavad täisarvudele kahest (23 = 8 ja 24 = 16).

Kaheksa- või kuueteistkümnendarvude teisendamiseks kahendarvuks piisab, kui asendada iga nende arv vastavalt kolme- või neljakohalise kahendarvuga.

Tõlgime näiteks kaheksandarvu (571)8 ja kuueteistkümnendsüsteemi arvu (179)16 kahendarvusüsteemi.

Mõlemal juhul saame sama tulemuse, s.t. (571)8 = (179)16 = (101111001)2

Arvu teisendamiseks kahendkümnendsüsteemist kümnendsüsteemiks peate asendama iga kahendkümnendsüsteemis esitatud arvu tetraad kümnendsüsteemis esitatud numbriga.

Kirjutame näiteks arvu (0010 0001 1000, 0110 0001 0110)2-10 kümnendsüsteemis, s.o. (0010 0001 1000, 0110 0001 0110) 2–10 = (218 625)